МКТ-1. Механика

Механика МКТ

В основу молекулярно-кинетической теории (МКТ), как и практически во всех разделах физики положены постулаты (недоказанные утверждения, которые в целом не противоречат опыту и здравому смыслу), чтобы вывести основные уравнения теории.
В дальнейшем необходимо проверять выводы теории с наблюдаемыми опытными данными и корректировать теорию вплоть до полного отказа от нее, если она противоречит опыту, как отказались в свое время от теории «флогистона» и «теплорода».

( Read more... )

В поле силы тяжести вводится, так называемая, барометрическая формула:

p = p0 * exp(-mgh/kT) (4)

Еще одна красивая формула, на этот раз Больцмана, которая практически не соответствует классической механике и опыту. Даже апологеты МКТ признают, что формула (4) работает до высот нескольких километров, мотивируя это тем, что температура падает с высотой! Отметим, что хотя поле и потенциальное, но оно имеет выделенное направление (Z) и воздействует лишь на одну компоненту импульса (скорости). Из закона сохранения энергии следует, что для «средней» молекулы воздуха высота подъема составляет h = vz0**2/2g = 4500 м, при этом температура должна линейно падать с высотой до (2/3)T0, где vz = 0. Ничего удивительного в этом нет, но и сделать учет температуры в барометрической формуле не получается. Вывод формулы (4) предполагает независимость кинетического слагаемого от потенциального в статистическом распределении, т.е. для любой высоты распределение по скоростям остается тем же самым, в том числе и по Z, а это в свою очередь требует T=const. И получается, что формула (4) работает, когда показатель экспоненты заметно меньше единицы, тогда разложение экспоненты по приближенным формулам вносит небольшую ошибку и получается линейный спад давления от высоты при постоянной температуре:
p = p0 (1 - mgh/kT), отклонение от (4) до высот 4км не более 7%
Обычно больше интересует не само давление, а все-таки плотность частиц, О2 в частности. Она полностью аналогична (4) и температура ей не мешает быть таковой. Так вот на высоте 12,5 км плотность составляет 0.368 от n0 , а на высоте 25км – 0.135, но ввиду массового множителя в экспоненте приводит к уменьшению доли кислорода относительно азота на 14% для высоты 12.5 км и 32% для высоты 25 км. Самолеты там ещё летают, им это очень важно…
Решим задачу нахождения давления от высоты неоднородной жидкости в поле тяжести, в котором задано распределение плотности n(h)=n0exp(-alfa gh).
Здесь коэффициент alfa выражает сжимаемость жидкости и прямого отношения к температуре и тепловой скорости не имеет.

Можно найти и плотность, и давление без предварительно заданного распределения, но в предположении, что увеличение давления при сжатии элемента объема пропорционально изменению плотности dp = k*dro, ограничиваясь линейной зависимостью, получим:
p' = k*ro' = - gro (5)
Решение уравнения (5) будет полностью аналогично предыдущей задаче c alfa = 1/k.
Учет шарообразности слоя и изменение силы тяжести от высоты взаимно компенсируют друг друга и приводят к аналогичной зависимости зависимости. Вклад в силу тяжести для тонкого сферического слоя толщины dr на расстоянии r от центра Земли будет:
dF = (GM/r**2)ro 4πr**2dr = 4πR0**2*g0*ro0*exp(-alfa(r-R0))dr
после интегрирования получим:
F(r) = 4πR0**2*g0*ro0*exp(-alfa(r-R0)) /alfa;
F(R0) = 4πR0**2*g0*ro0 /alfa = P0*4πR0**2
P(r) = P0*(R0**2/r**2)* exp(-alfa(r-R0))
Учебники по физике, рассматривая барометрическую формулу (4), приводят следствия из нее, которые при ближайшем рассмотрении не соответствуют опыту. Так в [1;6] подставляя в (4) вместо mgh закон всемирного тяготения получают ненулевое давление на бесконечности (!), объясняя это потерей массы атмосферы из-за наличия сверхскоростных молекул в «хвосте» максвелловского распределения. Но даже если вся атмосфера, не имея сингулярностей плотности, разлетится на бесконечность, то давление там будет равно нулю в силу нулевой плотности частиц. Кроме того, подсчитаем долю частиц, покидающих Землю, полагая скорость улетающих молекул 11.2 км/с. Она равна
   W = (11.2/0.5)**2 exp(-(11.2/0.5)**2) dV == 400exp(-400) dV = 10**(-170) dV,
пожалуй, всей вселенной не хватит, чтобы дождаться, когда хотя бы одна молекула покинула Землю при обычной температуре, даже если мы поставим интервал скорости равный скорости света…
Для водорода ситуация получше:
W = (11.2/1.7)**2exp(-(11.2/1.7)**2)*1700 = 43exp(-43) =  2*10**(-14),
если считать, что молекула покинула землю, удалившись на 300 000 км, то потери за год составят = 10**(-11)!
Но ответ на сию проблему заключается скорее в том, что в случае применения закона всемирного тяготения для больших расстояний негласно подразумевается и увеличение числа атомов газа пропорционально объему, а это ведет к увеличению массы, гравитационному потенциалу и давлению в нижних слоях, вплоть до бесконечности…
В [2] барометрической формулой объясняют эффект взвешивания газов разностью давлений, надо полагать в вакууме, поскольку при гибких стенках давление должно полностью выровняться с внешним. Второе, и более печальное, это учет вторых членов разложения, которые определяют разность двух взвешиваний газа, например, в форме тубуса, когда, скажем, высота h раз в десять больше линейных размеров основания a:
dM/M = mg(h - a)/2kT = gh/v**2 = 2*10**(-5) при высоте «тубуса» = 1м для воздуха в комнате.
Для тяжелых газов (криптон, ксенон) при низкой температуре сие будет в разы больше.
Третье, вытекает из второго, это зависимость концевых давлений от формы сосуда, достаточно рассмотреть два одинаковых сосуда в форме букв Г и L с тоненькой ножкой и объёмным основанием, когда оба помещены в термостат Т0.

Пять минут смотрим на облака

Сделаем несколько оценок для водяного пара. Допустим, что пар поднимается с поверхности земли и конденсируется на высоте 1 км. Для конденсации необходимо чтобы не только z-компонента скорости была близка к нулю (из-за силы тяжести это почти так), но и xy-компоненты также. Частички льда с линейными размерами 0.01 мм (10 микрон) находятся в термодинамическом равновесии с воздухом (решение задачи 1), поэтому можно записать:
Е1 = Е0 ; v1 = v0/k = 525м/с (29*1,1*1,6*10**(-27)/10**(-12))**(0.5) = 1.19*10**(-4)м/с
Даже для массы воды в тысячу тонн (10**6кг) кинетическая тепловая энергия составит десяток миллиджоулей, в то же время потенциальная Е=mgh=10**6кг*10*1000м=10**10 Дж, а кинетическая энергия облака при скорости 10м/с равна Е=10**6кг*10м/с*10м/с/2=510**7 Дж. Для сравнения кинетическая тепловая энергия пара при 100С была Е=10**6кг*780м/с780м/с/2=3*10**11 Дж, а теплота испарения (конденсации) Е=10**6кг* 2200кДж/кг = 2.2 *10**12 Дж, теплота плавления льда Е=10**6кг *334кдж/кг=3.34*10**11 Дж, и если добавить тепло для нагрева воды от 0С до 100С, то получим, что внутренняя энергия связи льда в 10 раз больше кинетической энергии пара. Каким образом им удается «скинуть» в пространство такое количество энергии, и как это согласуется со вторым началом термодинамики – большой вопрос! Вторая проблема состоит в том, что все видели кипение воды и пар, двигающийся как нечто целое, хотя по МКТ мы не должны наблюдать клубы пара. Пусть вода – особая жидкость, происходит конденсация и повторное испарение, но аналогичная картина наблюдается и для «цветных» газов: клубы хлора при электролизе раствора поваренной соли или бурый оксид азота (NO2) в реакции меди с азотной кислотой.

Давление газа на стенку

Апофеозом МКТ можно считать вывод уравнения состояния идеального газа. Здесь уместно еще раз напомнить, что без объяснения механизма перераспределения (выравнивания) импульса и энергии по декартовым компонентам в идеальном газе, бессмысленно строить какие-то бы ни было статистические распределения. Даже общепринятое распределение дает три(!) не одинаковых скорости атомов идеального газа: наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную. Теория вероятности указывает, что наблюдаемой величиной должна быть средняя скорость , а средняя квадратичная дает разброс, дисперсию относительно среднего значения скорости.
Согласившись с промежуточной формулой (5.10) давления на стенку [2]:
        dP = 2m vx**2 n(v) dv , где n(v) распределение по абсолютной скорости,
мы можем записать (vx)**2 = (vcosalfa)**2 , а затем выполнить усреднение по углу alfa (от 0 до pi/2) и абсолютным скоростям, а не так как в (5.11) [2], поскольку оно является не верным ввиду различия распределений n(v) и n(vx), пропущено, на мой взгляд, dvx= cosalfadv, что даст для давления следующее выражение:
             P = n m (vcp**2)/2 = nkT (6),
что вполне соответствует выражению (12.1) из [1] при неизменной энтропии, а, по сути, при неизменном распределении для малых изменений объема:
             Р = –dE /dV = E / V
Иначе, совершенно не понятен физический смысл выражения РV, да и температуры тоже, поскольку измеряемые макропараметры должны точно соответствовать статистически усредняемым микропараметрам: энергия энергии, а импульс импульсу. Ведь множитель 3/2 является принципиально системным, а не масштабным переводным коэффициентом! Получается, что в МКТ треть величины, называемой кинетической энергией газа, не обнаруживается в макроскопических наблюдениях и в основном уравнении состояния идеального газа. Проблема выросла из-за теплоемкости одноатомных газов при постоянном объеме Cv=3R/2, а из-за отсутствия внутренних степеней «половинку R» некуда пристроить.
Следующее замечание касается многоатомных (двухатомных) газов, у которых Cv=5R/2, и с точки зрения механики вращение молекул должно дать соответствующий вклад и в давление газа на стенку, но почему-то этого не наблюдается.
Вообще, стенка, ограничивающая газ, обладает по истине уникальными свойствами, более идеальными, чем «идеальный газ».

Наличие стенки требует с необходимостью наличие аналогичной противоположной стенки, иначе устройство, показанное на рисунке, будет порождать некомпенсированный импульс Рх. С течением времени все частицы в ограниченном объеме будут иметь положительное значение Рх. Мы, таким образом, получим физическое обоснование поговорки «изо всех щелей дует»! Для случая земной атмосферы минимальное время установления равновесия составит около 11 часов = 20000 км/0.5 км\сек = 40000 сек. Однако реально все происходит в десятки раз медленнее, даже мощные ураганы не ощущаются на расстоянии пары тысяч километров. Существование циклонов скорее говорит в пользу воздуха как «легкой сжимаемой жидкости», нежели как «идеального газа». Понятно, что не только такой «агрегат», но и любой плоский кусок твердого материала в воздухе должен порождать «ветер» в два направления!


Литература

1. Статистическая физика. Ч.1. т.5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., 2005
2. Курс физики. Под редакцией профессора Лозовского В.Н., 2001
3. Атомы и электроны. М.П. Бронштейн. Б-ка «Квант», вып. 1.
4. Статистическая физика. Майер, Гепперт-Майер.
5. Температура. Я.А. Смородинский. Б-ка «Квант», вып. 12.
6. Курс статистической физики и термодинамики. С. Б. Московский. М., Фонд Мир», 2005.
7. Ф. Содди. История атомной энергии. 1949. Атомиздат 1979.
 

МКТ-2. Опыты Перрена