berkutv: 2005 (Default)
[personal profile] berkutv

Механика МКТ

В основу молекулярно-кинетической теории (МКТ), как и практически во всех разделах физики положены постулаты (недоказанные утверждения, которые в целом не противоречат опыту и здравому смыслу), чтобы вывести основные уравнения теории.
В дальнейшем необходимо проверять выводы теории с наблюдаемыми опытными данными и корректировать теорию вплоть до полного отказа от нее, если она противоречит опыту, как отказались в свое время от теории «флогистона» и «теплорода».


Необходимо также ревизовать допущения, положенные в ее основу. Например, в МКТ предполагается полная независимость компонент скорости молекул газа, хотя из законов механики следует нечто обратное – законы сохранения энергии и импульса ставят свои ограничения на возможность произвольного изменения скоростей. При выводе уравнений МКТ приходится идеализировать граничные условия: упругие столкновения со стенками рассматриваются без учета их молекулярного строения.
Рассматривая, скажем, газ (пары) над жидкостью, с которой идет испарение, получаем сильно некомпенсированную Z-компоненту скорости. В модели «твердых» слабовзаимодействующих шариков совершенно не ясен механизм её трансформации в X- и Y-компоненты, когда нагрев жидкости меняет давление газа (паров) в десятки раз, а давление распределяется почти равномерно по всем направлениям. Отдельные упругие столкновения сохраняют компоненты импульса. То, что некоторые формулы дают близкий результат к наблюдаемым величинам, не означает ещё, что мы правильно понимаем течение физических процессов.
Рассмотрим идеальный двухкомпонентный газ, в котором массы частиц отличаются в к**2 раз, количество частиц первого и второго сорта одинаково, система термоизолирована и частицы имеют одинаковые значения кинетической энергии.
мкт1 - 18.11.2015 - 22:50:37
Механика упругих столкновений дает следующее решение:
1) k*m0*v0 ± k**2*m0*v0 = k**2*m0*v1 + m0*v2 – из закона сохранения импульса;
2) 2k**2*m0*v0**2 = k**2*m0*v1**2 + m0*v2**2 – из закона сохранения энергии;
выражая v2 из (1) и подставляя в (2) получим, переходя к относительным скоростям v1/v0, v2/v0:
1) v2 = k ± k**2 – k**2*v1 ;
2) 2k**2 = k**2*v1**2 + (k ± k**2 – k**2*v1)**2 ;
или, приводя подобные:
2) v1**2(k**2 +1) – 2k*v1 (1±k) + k**2 ± 2k – 1 = 0
Дабы не возиться с дискриминантами поступим «физически»: одно из решений квадратного уравнения есть ± v0 в силу обратимости механической задачи или в относительных единицах ± 1.
Следовательно, квадратный трехчлен делится на (v1 – (± 1)) без остатка:
2) v1**2(k**2 +1) – 2k*v1 (1±k) + k**2 ±2k – 1 | (v1 – (± 1))
    v1**2(k**2 +1) – (±v1)(k**2 +1)                 | v1(k**2 +1) + (–2k – (± k**2) ± 1)
    v1(–2k –(± k**2) ± 1) + (k**2 ±2k – 1)
    v1(–2k –(± k**2) ± 1) + (k**2 ±2k – 1)
       0

Искомый ответ:
                                v1 = (2k ± k**2 – (± 1)) / (k**2 +1)     (1-1)
а отношение энергий: Е1/Е0 = v1**2/ v0**2 = (k**4 +2k**2 + 1 ± 4k**3 – (±4k))/( k**4 +2k**2 + 1) или
                                Е1 / Е0 = 1 ± 4k(k**2–1)/(k**2 +1)**2  (1-2)
Из (1-2) видим, что приращение энергии, как и ее потери, для компонент имеют одинаковую величину, в целом сохраняя суммарную энергию неизменной. Собственно, так и должно быть при термодинамическом равновесии. Чтобы окончательно в этом убедиться, подсчитаем баланс соударения при одной покоящейся частице.
Рассмотрим оба случая одновременно:
1а) k**2 = k**2*v1 + v2 ;                                    1b) k = k**2*v1 + v2 ; – из закона сохранения импульса;
2а) k**2 = k**2v1**2 + v2**2 ;                            2b) k**2 = k**2*v1**2 + v2**2 ; – из закона сохранения энергии;
2а) v1**2(k**2 + 1) – 2k**2*v1+ k**2 – 1 = 0 ;   2b) v1**2(k**2 + 1) – 2k*v1 = 0;
и окончательно получаем:
а) v1 = (k**2 – 1) / (k**2 + 1);                  b) v1 = 2k / (k**2 + 1); (2-1)
а) Е1 / Е0 = 1 – 4k**2/(k**2 +1)**2          b) Е1 / Е0 = 4k**2 /(k**2 +1)**2; (2-2)
Как видим и в этом случае изменения энергии между компонентами не происходит.
Промежуточные случаи, надо полагать, дадут аналогичный результат.
Затеяли мы это несколько с другой целью: рассмотреть «чистый» идеальный газ, без примесей, с частицами одинаковой массы. Даже если посмотреть на выше приведенные формулы, то при k = 1 обмен энергией (1-2) окажется нулевой.
Решая задачу двух одинаковых частиц с разными скоростями, получим:
  мкт2 - 18.11.2015 - 22:50:37
                          (u0 – v0)(u0 – v1) = 0 (3),
где u0 скорость после соударения.
При упругом столкновении происходит лишь обмен компонентами импульсов, и если рассматривать распределение, скажем, Z-компоненты импульсов всех частиц, то после любых столкновений это распределение не изменится, сменятся лишь их носители! МКТ скромно умалчивает об этом факте, иначе последствия для нее будут хуже: либо объявлять о несоблюдении закона сохранения импульса, либо вводить внутренние степени свободы частиц, либо… признать, что МКТ является модельной и не описывает реальное поведение атомов «идеального газа».
Что же касается статистического распределения по скоростям, то в силу  Pzi = 0, мы не можем приписать всем частицам даже Pz = v0*m0/3N, хотя теория вероятности этого не запрещает. Есть и другие «механические» ограничения, например, связанные с сохранением момента импульса.
А такая красивая формула распределения Максвелла!
Внутренняя степень свободы есть, она следует хотя бы из модели атома Бора. Она способствует, кстати, нагреву газа при поглощении ЭМ излучения. Но тогда не понятно как быть с теплоемкостью, которая становится как минимум (3/2+1/2)k = 2k. «Упругим шарикам» отказано даже в собственном вращении. При этом в экспоненте распределения спокойно стоит Eкин/kT, и никаких половинок. Странное что-то творится в датском королевстве…
Само понятие температуры в разных учебниках вводится по-разному: то как некий постулат, то затем его пытаются доказать. Постулирование температуры как меры внутренней энергии равной средней кинетической энергии частиц (атомов, молекул) приводит к достаточно большим скоростям.
Снег в спокойной атмосфере может пролежать и месяц, тогда как дуновение в 1 м\с способно разрушить снежную конструкцию (изменение скорости менее 0.5%), при том, что изменение температуры от -40С до 0С изменяет скорость молекул воздуха по МКТ на 8% или примерно на 40 м\с в абсолютном выражении. Во истину удивителен наш мир!
В «идеальном» газе проблемы обнаруживаются и со звуком. При выводе волновых уравнений для звука обычно предполагается, что все изменения локальных параметров системы много меньше их равновесного значения: p* « p0, v* « v0, ro* « ro0, и не то странно, что скоростью объявляется величина с = (Gp*/ro*)**0.5, а то, что она совсем не жестко связана со средней тепловой скоростью. Да зависимость от температуры аналогичная, но для тепловой скорости это скорее определение, и также по определению должно бы быть с =vскв /sqr(3 ), средняя скорость по направлению ввиду равноправия всех трех компонент. Для воздуха получаем с = 525 м\с / 1.73 = 303 м\с, близко, но на 10 % меньше реальной скорости. Для физической точности хватило бы, но если посмотреть на распределение Максвелла, то как-то не по себе становится от дисперсии этой средней скорости: звуковые пакеты должны расплываться до неузнаваемости, ситуация еще хуже в одномерном случае, где максимум распределения находится в нуле.
Но и это ерунда! Сущий пустяк по сравнению с тем, что в модели упругих невзаимодействующих шариков звук не может распространяться принципиально – колебания, по сути, есть превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, а когда у нас только кинетическая… увы, звука нет, кина не будет!
Барометрическая формулаВ поле силы тяжести вводится, так называемая, барометрическая формула:
p = p0 * exp(-mgh/kT) (4)
Еще одна красивая формула, на этот раз Больцмана, которая практически не соответствует классической механике и опыту. Даже апологеты МКТ признают, что формула (4) работает до высот нескольких километров, мотивируя это тем, что температура падает с высотой! Отметим, что хотя поле и потенциальное, но оно имеет выделенное направление (Z) и воздействует лишь на одну компоненту импульса (скорости). Из закона сохранения энергии следует, что для «средней» молекулы воздуха высота подъема составляет h = vz0**2/2g = 4500 м, при этом температура должна линейно падать с высотой до (2/3)T0, где vz = 0. Ничего удивительного в этом нет, но и сделать учет температуры в барометрической формуле не получается. Вывод формулы (4) предполагает независимость кинетического слагаемого от потенциального в статистическом распределении, т.е. для любой высоты распределение по скоростям остается тем же самым, в том числе и по Z, а это в свою очередь требует T=const. И получается, что формула (4) работает, когда показатель экспоненты заметно меньше единицы, тогда разложение экспоненты по приближенным формулам вносит небольшую ошибку и получается линейный спад давления от высоты при постоянной температуре:
p = p0 (1 - mgh/kT), отклонение от (4) до высот 4км не более 7%
Обычно больше интересует не само давление, а все-таки плотность частиц, О2 в частности. Она полностью аналогична (4) и температура ей не мешает быть таковой. Так вот на высоте 12,5 км плотность составляет 0.368 от n0 , а на высоте 25км – 0.135, но ввиду массового множителя в экспоненте приводит к уменьшению доли кислорода относительно азота на 14% для высоты 12.5 км и 32% для высоты 25 км. Самолеты там ещё летают, им это очень важно…
мкт3 - 18.11.2015 - 22:50:37Решим задачу нахождения давления от высоты неоднородной жидкости в поле тяжести, в котором задано распределение плотности n(h)=n0exp(-alfa gh).
Здесь коэффициент alfa выражает сжимаемость жидкости и прямого отношения к температуре и тепловой скорости не имеет.
мкт4 - 18.11.2015 - 22:50:37
Можно найти и плотность, и давление без предварительно заданного распределения, но в предположении, что увеличение давления при сжатии элемента объема пропорционально изменению плотности dp = k*dro, ограничиваясь линейной зависимостью, получим:
p' = k*ro' = - gro (5)
Решение уравнения (5) будет полностью аналогично предыдущей задаче c alfa = 1/k.
Учет шарообразности слоя и изменение силы тяжести от высоты взаимно компенсируют друг друга и приводят к аналогичной зависимости зависимости. Вклад в силу тяжести для тонкого сферического слоя толщины dr на расстоянии r от центра Земли будет:
dF = (GM/r**2)ro 4πr**2dr = 4πR0**2*g0*ro0*exp(-alfa(r-R0))dr
после интегрирования получим:
F(r) = 4πR0**2*g0*ro0*exp(-alfa(r-R0)) /alfa;
F(R0) = 4πR0**2*g0*ro0 /alfa = P0*4πR0**2
P(r) = P0*(R0**2/r**2)* exp(-alfa(r-R0))
Учебники по физике, рассматривая барометрическую формулу (4), приводят следствия из нее, которые при ближайшем рассмотрении не соответствуют опыту. Так в [1;6] подставляя в (4) вместо mgh закон всемирного тяготения получают ненулевое давление на бесконечности (!), объясняя это потерей массы атмосферы из-за наличия сверхскоростных молекул в «хвосте» максвелловского распределения. Но даже если вся атмосфера, не имея сингулярностей плотности, разлетится на бесконечность, то давление там будет равно нулю в силу нулевой плотности частиц. Кроме того, подсчитаем долю частиц, покидающих Землю, полагая скорость улетающих молекул 11.2 км/с. Она равна
   W = (11.2/0.5)**2 exp(-(11.2/0.5)**2) dV == 400exp(-400) dV = 10**(-170) dV,
пожалуй, всей вселенной не хватит, чтобы дождаться, когда хотя бы одна молекула покинула Землю при обычной температуре, даже если мы поставим интервал скорости равный скорости света…
Для водорода ситуация получше:
W = (11.2/1.7)**2exp(-(11.2/1.7)**2)*1700 = 43exp(-43) =  2*10**(-14),
если считать, что молекула покинула землю, удалившись на 300 000 км, то потери за год составят = 10**(-11)!
Но ответ на сию проблему заключается скорее в том, что в случае применения закона всемирного тяготения для больших расстояний негласно подразумевается и увеличение числа атомов газа пропорционально объему, а это ведет к увеличению массы, гравитационному потенциалу и давлению в нижних слоях, вплоть до бесконечности…
В [2] барометрической формулой объясняют эффект взвешивания газов разностью давлений, надо полагать в вакууме, поскольку при гибких стенках давление должно полностью выровняться с внешним. Второе, и более печальное, это учет вторых членов разложения, которые определяют разность двух взвешиваний газа, например, в форме тубуса, когда, скажем, высота h раз в десять больше линейных размеров основания a:
dM/M = mg(h - a)/2kT = gh/v**2 = 2*10**(-5) при высоте «тубуса» = 1м для воздуха в комнате.
Для тяжелых газов (криптон, ксенон) при низкой температуре сие будет в разы больше.
Третье, вытекает из второго, это зависимость концевых давлений от формы сосуда, достаточно рассмотреть два одинаковых сосуда в форме букв Г и L с тоненькой ножкой и объёмным основанием, когда оба помещены в термостат Т0.

Пять минут смотрим на облака
Сделаем несколько оценок для водяного пара. Допустим, что пар поднимается с поверхности земли и конденсируется на высоте 1 км. Для конденсации необходимо чтобы не только z-компонента скорости была близка к нулю (из-за силы тяжести это почти так), но и xy-компоненты также. Частички льда с линейными размерами 0.01 мм (10 микрон) находятся в термодинамическом равновесии с воздухом (решение задачи 1), поэтому можно записать:
Е1 = Е0 ; v1 = v0/k = 525м/с (29*1,1*1,6*10**(-27)/10**(-12))**(0.5) = 1.19*10**(-4)м/с
Даже для массы воды в тысячу тонн (10**6кг) кинетическая тепловая энергия составит десяток миллиджоулей, в то же время потенциальная Е=mgh=10**6кг*10*1000м=10**10 Дж, а кинетическая энергия облака при скорости 10м/с равна Е=10**6кг*10м/с*10м/с/2=510**7 Дж. Для сравнения кинетическая тепловая энергия пара при 100С была Е=10**6кг*780м/с780м/с/2=3*10**11 Дж, а теплота испарения (конденсации) Е=10**6кг* 2200кДж/кг = 2.2 *10**12 Дж, теплота плавления льда Е=10**6кг *334кдж/кг=3.34*10**11 Дж, и если добавить тепло для нагрева воды от 0С до 100С, то получим, что внутренняя энергия связи льда в 10 раз больше кинетической энергии пара. Каким образом им удается «скинуть» в пространство такое количество энергии, и как это согласуется со вторым началом термодинамики – большой вопрос! Вторая проблема состоит в том, что все видели кипение воды и пар, двигающийся как нечто целое, хотя по МКТ мы не должны наблюдать клубы пара. Пусть вода – особая жидкость, происходит конденсация и повторное испарение, но аналогичная картина наблюдается и для «цветных» газов: клубы хлора при электролизе раствора поваренной соли или бурый оксид азота (NO2) в реакции меди с азотной кислотой.
Давление газа на стенку
Апофеозом МКТ можно считать вывод уравнения состояния идеального газа. Здесь уместно еще раз напомнить, что без объяснения механизма перераспределения (выравнивания) импульса и энергии по декартовым компонентам в идеальном газе, бессмысленно строить какие-то бы ни было статистические распределения. Даже общепринятое распределение дает три(!) не одинаковых скорости атомов идеального газа: наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную. Теория вероятности указывает, что наблюдаемой величиной должна быть средняя скорость , а средняя квадратичная дает разброс, дисперсию относительно среднего значения скорости.
Согласившись с промежуточной формулой (5.10) давления на стенку [2]:
        dP = 2m vx**2 n(v) dv , где
n(v) распределение по абсолютной скорости,
мы можем записать (vx)**2 = (vcosalfa)**2 , а затем выполнить усреднение по углу alfa (от 0 до pi/2) и абсолютным скоростям, а не так как в (5.11) [2], поскольку оно является не верным ввиду различия распределений n(v) и n(vx), пропущено, на мой взгляд, dvx= cosalfadv, что даст для давления следующее выражение:
             P = n m (vcp**2)/2 = nkT (6),
что вполне соответствует выражению (12.1) из [1] при неизменной энтропии, а, по сути, при неизменном распределении для малых изменений объема:
             Р = –dE /dV = E / V
Иначе, совершенно не понятен физический смысл выражения РV, да и температуры тоже, поскольку измеряемые макропараметры должны точно соответствовать статистически усредняемым микропараметрам: энергия энергии, а импульс импульсу. Ведь множитель 3/2 является принципиально системным, а не масштабным переводным коэффициентом! Получается, что в МКТ треть величины, называемой кинетической энергией газа, не обнаруживается в макроскопических наблюдениях и в основном уравнении состояния идеального газа. Проблема выросла из-за теплоемкости одноатомных газов при постоянном объеме Cv=3R/2, а из-за отсутствия внутренних степеней «половинку R» некуда пристроить.
Следующее замечание касается многоатомных (двухатомных) газов, у которых Cv=5R/2, и с точки зрения механики вращение молекул должно дать соответствующий вклад и в давление газа на стенку, но почему-то этого не наблюдается.
Вообще, стенка, ограничивающая газ, обладает по истине уникальными свойствами, более идеальными, чем «идеальный газ».
мкт5 - 18.11.2015 - 22:50:37
Наличие стенки требует с необходимостью наличие аналогичной противоположной стенки, иначе устройство, показанное на рисунке, будет порождать некомпенсированный импульс Рх. С течением времени все частицы в ограниченном объеме будут иметь положительное значение Рх. Мы, таким образом, получим физическое обоснование поговорки «изо всех щелей дует»! Для случая земной атмосферы минимальное время установления равновесия составит около 11 часов = 20000 км/0.5 км\сек = 40000 сек. Однако реально все происходит в десятки раз медленнее, даже мощные ураганы не ощущаются на расстоянии пары тысяч километров. Существование циклонов скорее говорит в пользу воздуха как «легкой сжимаемой жидкости», нежели как «идеального газа». Понятно, что не только такой «агрегат», но и любой плоский кусок твердого материала в воздухе должен порождать «ветер» в два направления!


Литература

1. Статистическая физика. Ч.1. т.5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., 2005
2. Курс физики. Под редакцией профессора Лозовского В.Н., 2001
3. Атомы и электроны. М.П. Бронштейн. Б-ка «Квант», вып. 1.
4. Статистическая физика. Майер, Гепперт-Майер.
5. Температура. Я.А. Смородинский. Б-ка «Квант», вып. 12.
6. Курс статистической физики и термодинамики. С. Б. Московский. М., Фонд Мир», 2005.
7. Ф. Содди. История атомной энергии. 1949. Атомиздат 1979.
 


МКТ-2. Опыты Перрена
From:
Anonymous( )Anonymous This account has disabled anonymous posting.
OpenID( )OpenID You can comment on this post while signed in with an account from many other sites, once you have confirmed your email address. Sign in using OpenID.
User
Account name:
Password:
If you don't have an account you can create one now.
Subject:
HTML doesn't work in the subject.

Message:

 
Notice: This account is set to log the IP addresses of everyone who comments.
Links will be displayed as unclickable URLs to help prevent spam.

Profile

berkutv: 2005 (Default)
berkutv

February 2017

S M T W T F S
    123 4
5678910 11
12131415161718
19202122232425
262728    

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 22nd, 2017 02:34 am
Powered by Dreamwidth Studios